Preços das opções europeias com Monte Carlo

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Mostraremos como podemos precificar as opções europeias com simulação de Monte Carlo usando R. Lembre-se que as opções europeias são uma versão de um contrato de opções que limita a execução à sua data de vencimento. Vamos nos concentrar apenas nas opções de compra e venda. Presumimos que o leitor esteja familiarizado com as Opções Européias e a fórmula de Black Scholes.

Fórmula Black-Scholes

Podemos calcular o preço das opções de venda e compra europeias explicitamente usando a fórmula de Black-Scholes.

Opção de chamada

O valor de uma opção de compra para uma ação subjacente sem pagamento de dividendos em termos dos parâmetros Black-Scholes é:

Preços das opções europeias com Monte Carlo 1

Opção de Venda

O preço de uma opção de venda correspondente com base na paridade de compra e venda é:

Preços das opções europeias com Monte Carlo 2

Onde, em ambos os casos, a noção é a seguinte:

Preços de opções europeias com fórmula Black-Scholes

Podemos facilmente obter o preço das opções europeias em R aplicando a fórmula de Black-Scholes.

Cenário. Vamos supor que desejamos calcular o preço da opção de compra e venda com:

  • K: O preço de exercício é igual a 100
  • r: A taxa anual livre de risco é 2%
  • sigma: a volatilidade σ é 20%
  • T: o tempo de maturidade em anos é 0,5
  • S0: O preço atual é igual a 102
K = 100
r = 0.02
sigma = 0.2
T = 0.5
S0 = 102

# call option

d1 



So the price of the call and put option is 7.288151 and 4.293135 respectively.

Pricing of European Options with Monte Carlo Simulation

Given the current asset price at time 0 is (S_0), then the asset price at time T can be expressed as:

(S_T = S_0e^{(r- frac{sigma^2}{2})T + sigma W_T})

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where (W_T) follows the normal distribution with mean 0 and variance T. The pay-off of the call option is (max(S_T-K,0)) and for the put option is (max(K-S_T)).

Simple Monte Carlo

Let’s apply a simple Monte Carlo Simulation with 1M runs, where we will get the price and the standard error of the call and put option. As parameters, we will use the same as the example above.

# call put option monte carlo
call_put_mc


And we get:

$price_call
[1] 7.290738

$sterr_call
[1] 0.01013476

$price_put
[1] 4.294683

$sterr_put
[1] 0.006700902

Como podemos ver, os preços estimados da Simulação de Monte Carlo são muito próximos aos obtidos pela fórmula de Black-Scholes (7.290738 vs 7.288151 e 4.294683 vs 4,293135)

Variáveis ​​Antitéticas Método

O método das variáveis ​​antitéticas tenta reduzir variância introduzindo dependência negativa entre pares de replicações. Em uma simulação conduzida por variáveis ​​aleatórias normais padrão independentes, as variáveis ​​antitéticas podem ser implementadas pareando uma sequência Zl, Z2, ... de variáveis ​​normais padrão com a sequência -Zl, -Z2,. ..de variáveis ​​normais padrão. Se os Zi são usados ​​para simular os incrementos de um caminho browniano, então o -Zi simula os incrementos da reflexão do caminho sobre a origem. Isso sugere novamente que a execução de um par de simulações usando o caminho original e, em seguida, seu reflexo pode resultar em menor variação. Observe que o estimador de variáveis ​​antitéticas é simplesmente a média de todas as 2n observações. Vamos aplicar o “Método das Variáveis ​​Antitéticas” e comparar os resultados com o Monte Carlo simples.

Observe que o par para a chamada será o:

((e ^ {- rT} max (S_ {WT} -K, 0), e ^ {- rT} max (S _ {- WT} -K, 0)) )

e o preço estimado será a média do par para cada etapa da simulação.

antithetic_call_put_mc


And we get:

$price_call
[1] 7.290193

$sterr_call
[1] 0.004993403

$price_put
[1] 4.294812

$sterr_put
[1] 0.003636479

Vemos que os preços estimados estão novamente muito próximos, mas o erro padrão é muito mais baixo com o método das variáveis ​​antitéticas em comparação com o simples Monte Carlo (0,004993403 vs 0,01013476 e 0,003636479 vs 0,006700902) Alguém pode argumentar que essa redução da variância se deve ao fato de que gerar 1 milhão de pares era como gerar 2 milhões de simulações. Devemos mencionar que computacionalmente não era caro obter os pares porque novamente geramos a partir do normal padrão e o par consistia no valor original e no valor original com um sinal diferente. No entanto, podemos executar a simulação novamente meia hora, apenas para comparação.

set.seed(1)
results



As we can see, even if we run the half simulations, the standard error is lower than that of the simple Monte Carlo.

Importance Sampling Method

This is the idea of the importance sampling, is to try to give more weight to the “important” so that to increase sampling efficiency and as a result to reduce the standard error of the simulation. We will change the measure by considering the identical function I[ST>K] for the call options and I[ST

importance_call_put_mcK]
  price_call K))
  sterr_call K))/sqrt(nSim)

  
  # put option price and standard error
  simulated_put_payoffs 


And we get:

$price_call
[1] 7.28989

$sterr_call
[1] 0.007057805

$price_put
[1] 4.294863

$sterr_put
[1] 0.005140888

Novamente, vemos que, aplicando a técnica de amostragem de importância, obtivemos uma estimativa muito próxima do preço e um erro padrão muito menor em comparação com o método simples de Monte Carlo.

Discussão

Mostramos como podemos calcular o preço das opções europeias explicitamente aplicando a fórmula de Black-Scholes e mostramos como podemos estimar os preços aplicando a simulação de Monte Carlo. Por fim, fornecemos exemplos de técnicas avançadas de Monte Carlo, como as variáveis ​​antitéticas e a amostragem de importância, que têm como resultado uma simulação mais eficaz com menor erro padrão.




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