Teorema de separação de hiperplanos | R-bloggers

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Um pouco de contexto para colocar isso em meu blog de estatísticas: Estou lendo livros de Real Analysis novamente como parte de meus estudos. Eu costumava visitar o site de Kim C. Border de vez em quando para ler seus excelentes materiais, e agora li que ele faleceu. Nunca auditei um de seus cursos nem estudei no Caltech, mas trocamos vários e-mails de 2012 a 2019, principalmente sobre Álgebra Linear, e ultimamente também sobre o Teorema da Impossibilidade de Arrow e debates sociais em um momento em que o Chile entrou em uma crise política que ainda não passamos está resolvido. A prova desse teorema, fortemente inspirada em seu estilo, é uma forma de homenageá-lo como uma influência muito positiva durante meus estudos de economia.

Teorema (Teorema de separação de hiperplanos). Deixei ( renewcommand { vec}[1]{ boldsymbol {# 1}} newcommand { R} { mathbb {R}} A ) e (B ) dois subconjuntos convexos, disjuntos e não vazios de ( R ^ n ). Se (UMA) está fechado e (B ) é compacto, existe ( vec {p} in R ^ n setminus { vec {0} } ) de tal modo que ( vec {p} cdot vec {a}.

Prova. Deve ser feito sob uma abordagem de “dividir para conquistar”.

Se (UMA) está fechado, defina a função
[begin{align*}
f: B &to R cr
vec{b} &mapsto min_{vec{a}in A} |vec{b}-vec{a}|.
end{align*}]

Esta função retorna a distância de ( mais {b} e B ) para ( vec {a} in A ) e é uma função contínua.

Se (B ) é compacto, existe ( vec {b} _0 in B ) de tal modo que (f ( vec {b} _0) leq f ( vec {b}) : forall vec {b} in B ).

Deixei ( vec {y} in A ) de tal modo que (f ( vec {b} _0) = | vec {b} _0- vec {y} | ). O vetor
[vec{p}=frac{vec{b}_0-vec{y}}{|vec{b}_0-vec{y}|}]

está bem definido e é tal que ( | vec {p} | = 1 ).

A partir de ( vec {p} cdot vec {p}> 0 ), segue que
[vec{p}cdot frac{vec{b}_0-vec{y}}{|vec{b}_0-vec{y}|} > 0,]

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do qual concluímos que
[begin{gather}label{separacion-1}
vec{p}cdot vec{y}

From (eqref{separacion-1}) we need to prove that (vec{p}cdot vec{b}_0 leq vec{p}cdot vec{b}) and (vec{p}cdot vec{a} .

Fix (vec{a}in A) and define the function
[begin{align*}
g: [0,1] & to R cr lambda & mapsto | vec {b} _0 + vec {y} – lambda ( vec {a} – vec {y}) | ^ 2. end {align *} ]

Providenciou que (UMA) é convexo, (g ) atinge um mínimo em ( lambda = 0 ), então
[begin{align*}
g(lambda) &= (langle vec{b}_0-vec{y} – lambda(vec{a}-vec{y}) , vec{b}_0-vec{y} – lambda(vec{a}-vec{y}) rangle)^2 cr
&= (langle vec{b}_0-vec{y} , vec{b}_0-vec{y} rangle – 2lambda langle vec{b}_0-vec{y} , vec{a}-vec{y}rangle + lambda^2 langle vec{a}-vec{y} , vec{a}-vec{y} rangle)^2 cr
frac{partial g}{partial lambda} &= -2langle vec{b}_0-vec{y} , vec{a}-vec{y}rangle + 2lambda langle vec{a}-vec{y} , vec{a}-vec{y} rangle.
end{align*}]

Conseqüentemente,
[left.frac{partial g}{partial lambda}right|_{lambda=0}
= (vec{b}_0-vec{y})cdot (vec{y}-vec{a}) geq 0.]

Dividindo por ( | vec {b} _0- vec {y} | ) concluimos que
[begin{gather}label{separacion-2}
vec{p}cdot vec{a} leq vec{p}cdot vec{y}. tag{**}
end{gather}]

Consertar ( mais {b} e B ) e definir a função
[begin{align*}
h: & [0,1] to R cr lambda & mapsto | vec {b} _0- vec {y} – lambda ( vec {b} – vec {y}) | ^ 2. end {align *} ]

Pelo mesmo argumento que leva a ( eqref {separação-2} ), concluimos que
[begin{gather}label{separacion-3}
vec{p}cdot vec{b}_0 leq vec{p}cdot vec{b}. tag{***}
end{gather}]

Finalmente, ( eqref {separação-1} ), ( eqref {separação-2} ) e ( eqref {separação-3} ) levar a concluir que ( vec {p} cdot vec {a}.

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