truque gaussiano inverso [or treat?]

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Wuando preparando meu exame de meio termo para meu curso de estatística matemática, eu queria usar a distribuição gaussiana inversa IG (µ, λ) como um exemplo de família exponencial e incluir uma questão geradora aleatória. Conforme mostrado acima por um código de computador Fortran de Michael, Schucany e Haas, uma versão simples pode ser baseada na simulação de uma variável χ² (1) e resolver em x a seguinte equação polinomial de segundo grau

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 dfrac { lambda (x-  mu) ^ 2} { mu ^ 2 x} = v

já que a transformada do lado esquerdo é distribuída como uma variável aleatória χ² (1). A menor raiz x¹, menor que μ, é então escolhida com probabilidade μ / (μ + x¹) e a maior, x² = μ² / x¹ com probabilidade x¹ / (μ + x¹). Uma pergunta relativamente fácil então, exceto quando se pensa em pedir a prova do resultado χ² (1), que provou ser um biscoito mais difícil do que o esperado! O artigo geralmente referido para o resultado, Schuster (1968), é bastante críptico sobre o assunto, essencialmente afirmando que o acima pode ser expresso como a transformada (bijetiva) de Y = min (X, μ² / X) e que V ~ χ² (1) segue imediatamente. Acabei descobrindo uma prova pela “lei do estatístico inconsciente” [a name I do not find particularly amusing!], mas não incluiu a pergunta no exame. Mas eu achei bastante interessante que o inverso gaussiano pode ser gerado pela “inversão” da equação acima, ou seja, indo de uma variável gaussiana V (ao quadrado) para a variável gaussiana inversa X. (Embora o nome decorra das duas funções geradoras cumulativas sendo inversos um do outro.)

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