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UMA superposição de dois passeios aleatórios do The Riddler:
Começando do zero, uma caminhada aleatória é produzida escolhendo movimentos entre ± 1 e ± 2 em cada etapa. Se a escolha entre ambos for feita para maximizar a probabilidade de terminar positivo após 100 etapas, qual é essa probabilidade?
Embora o caminho ideal não seja necessariamente feito de movimentos que otimizem a probabilidade de ser positivo após as etapas restantes, eu escolhi seguir uma abordagem de programação dinâmica escolhendo entre ± 1 e ± 2 em cada etapa com base nessa probabilidade:
bs=matrix(0,405,101) #best stategy with value i-203 at time j-1
bs[204:405,101]=1
for (t in 100:1){
tt=2*t
bs[203+(-tt:tt),t]=.5*apply(cbind(
bs[204+(-tt:tt),t+1]+bs[202+(-tt:tt),t+1],
bs[201+(-tt:tt),t+1]+bs[205+(-tt:tt),t+1]),1,max)}
resultando na probabilidade
> bs[203,1] [1] 0.6403174
Apenas verificando se uma estratégia simples de escolher ± 1 acima de zero e ± 2 abaixo leva ao mesmo valor
ga=rep(0,T) for(v in 1:100) ga=ga+(1+(gaor sort of
> mean(ga>0) [1] 0.6403494Com probabilidades altamente semelhantes ao alternar em ga
> mean(ga>0) [1] 0.6403183ou ga
> mean(ga>0) [1] 0.6403008e pouca diferença para identificar uma melhoria significativa entre os três limites.
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