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UMA superposição de dois passeios aleatórios do The Riddler:

Começando do zero, uma caminhada aleatória é produzida escolhendo movimentos entre ± 1 e ± 2 em cada etapa. Se a escolha entre ambos for feita para maximizar a probabilidade de terminar positivo após 100 etapas, qual é essa probabilidade?

Embora o caminho ideal não seja necessariamente feito de movimentos que otimizem a probabilidade de ser positivo após as etapas restantes, eu escolhi seguir uma abordagem de programação dinâmica escolhendo entre ± 1 e ± 2 em cada etapa com base nessa probabilidade:

bs=matrix(0,405,101) #best stategy with value i-203 at time j-1
bs[204:405,101]=1
for (t in 100:1){
  tt=2*t
  bs[203+(-tt:tt),t]=.5*apply(cbind(
     bs[204+(-tt:tt),t+1]+bs[202+(-tt:tt),t+1],
     bs[201+(-tt:tt),t+1]+bs[205+(-tt:tt),t+1]),1,max)}

resultando na probabilidade

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> bs[203,1]
[1] 0.6403174

Apenas verificando se uma estratégia simples de escolher ± 1 acima de zero e ± 2 abaixo leva ao mesmo valor

ga=rep(0,T)
for(v in 1:100) ga=ga+(1+(ga

or sort of

> mean(ga>0)
[1] 0.6403494

Com probabilidades altamente semelhantes ao alternar em ga

> mean(ga>0)
[1] 0.6403183

ou ga

> mean(ga>0)
[1] 0.6403008

e pouca diferença para identificar uma melhoria significativa entre os três limites.



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