“You Are Here”: Compreendendo como o GPS funciona

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Na semana passada, mostrei a você um método de como encontrar o caminho mais rápido de A para B: Encontrando o caminho mais curto com o agoritmo de Dijkstra. Para fazer uso disso, precisamos de um método para determinar nossa posição a qualquer momento.

Por falar nisso, muitos dispositivos usam os chamados Sistema de Posicionamento Global (GPS). Se você quiser entender como funciona e fazer alguns cálculos simples em R, continue lendo!

Hoje em dia, a maioria de nós tem vários dispositivos GPS, em seus carros, smartphones e smartwatches. Esses são receptores de sinais vindos de mais de 30 satélites que orbitam a Terra. Você precisa desses tantos para que haja sempre o suficiente à vista:

fonte: wikimedia

Muitos dos detalhes técnicos são interessantes, mas aqui quero que você entenda o princípio básico de como funciona. Com o GPS real, você precisa de três satélites para determinar duas coordenadas, uma das quais pode ser descartada. Como o relógio do receptor GPS não está totalmente sincronizado, você precisa de um quarto satélite para compensar isso. O sistema de equações resultante deve ser resolvido para determinar a posição. Em nosso exemplo de brinquedo, faremos apenas o caso 2D com dois satélites, mas o princípio permanece o mesmo.

O exemplo a seguir foi retirado do excelente artigo From Barns to Satellites: Uma introdução à matemática de sistemas de posicionamento global, escrito por meu colega, o professor Kyle Schultz, da Universidade de Mary Washington.

O princípio básico para determinar a posição é encontrar o interseção dos dois círculos dos dois satélites (neste caso) e combinando isso com um terceiro círculo, dado pelo raio da Terra. Obtemos círculos porque quando recebemos o sinal de um satélite, recebemos o Tempo quando enviou o sinal e o posição onde estava quando enviou o sinal. A partir daí, podemos inferir um círculo de todas as posições para as quais o sinal poderia ter viajado durante o intervalo de tempo até o recebermos.

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Quando temos dois satélites, obtemos dois círculos. Dois círculos não têm, uma ou duas interseções. Quando o sistema está configurado corretamente, teremos dois cruzamentos na maioria das vezes. Um desses pode, em quase todos os casos, ser descartado porque estará em algum lugar no espaço ou abaixo da terra (x e y são as coordenadas, r é o raio do círculo):

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draw_circle 

The method for finding the intersection is called trilateration. You can find the exact mathematical derivation in the above article. We put the resulting formula into an R function (the d‘s stand for distances, the p, q and r for the coordinates of the satellites (we do not need the y-value of the first satellite because of the alignment of the diagram, see the article for details!):

trilaterate 

As you can see, we got a unique position (5, 12) by this method.

Another fascinating aspect of GPS is, that it is a practical application of Einstein’s Theory of Relativity! That is because the satellites are moving very fast in relation to the surface of the earth and gravity is much weaker up there! Both have to be incorporated into the equation, otherwise, we would have an accumulating error of more than 10 km per day! The system would obviously be totally useless without Einstein and his brilliant theory!



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